Fitting Splines to a Parametric Function

Dieser Brief untersucht die Überschneidungen zwischen drei verschiedenen Studienbereichen, die sich normalerweise nicht berühren würden: ODF, Spline-Theorie und Topologie.
Die Methode der kleinsten Quadrate der orthogonalen Abstandsanpassung (ODF) ist zur Standardtechnik für die Entwicklung mathematischer Modelle der physischen Form von Objekten geworden, da sie ein angepasstes Ergebnis liefert, das in Bezug auf die Größe und Ausrichtung des Objekts unveränderlich ist. Diese Arbeit konzentriert sich stattdessen auf die Frage, ob die Anpassung kontinuierlich erfolgt, wenn sich die Form des Objekts ändert. In der Spline-Theorie werden benutzerfreundliche Möglichkeiten zur Manipulation von sechs verschiedenen Splines entwickelt, um die Form einer einfachen Familie von epiTrochoid-Kurven anzupassen: zwei Arten von Bézier-Kurven, zwei gleichmäßige B-Splines und zwei Beta-Splines. Diese Arbeit wird sich auf Probleme konzentrieren, die bei der mathematischen Optimierung der Anpassung auftreten. Bei der ODF-Methode gibt es in der Regel mehrere Lösungen, und die Anzahl der Lösungen kann sich oft ändern, wenn sich die Form des Objekts ändert, so dass sich sofort zwei topologische Fragen stellen: Gibt es Regeln, die in Bezug auf die relative Anzahl lokaler Minima und Sattelpunkte angewandt werden können, und gibt es verschiedene Mechanismen, durch die Lösungen entweder verschmelzen und verschwinden oder sich überkreuzen und die Rollen tauschen können. Der Autor schlägt einige einfache Regeln vor, mit denen festgestellt werden kann, ob eine gegebene Lösungsmenge in sich konsistent ist, d.h. ob sie eine angemessene Anzahl von Lösungen jeder Art aufweist.